Матан экз04

matan4hse (2).pdf

так помечен материал, который не покрыт конспектами

Раньше я делал canvas файлики к параграфам, теперь фокус сдвинулся на граф в обсидиане и обильно проставленные кросс-рефференсы

Глава VII. Ряды

  1. ! Признак Коши (с ). Примеры.
  2. ! Признак Даламбера. Примеры. Связь между признаками Коши и Даламбера.
  3. ! Связь между суммами и интегралами. Интегральный признак. Сходимость и расходимость рядов .
  4. Преобразование Абеля. Признаки Дирихле и Абеля.
  5. ! Признак Лейбница. Оценка суммы знакочередующегося ряда. Примеры (ряд Лейбница и его перестановка).
  6. Перестановка членов абсолютно сходящегося ряда.
  7. Теорема Римана о перестановке ряда.
  8. Теорема Коши. Произведение рядов. Теорема Мертенса (без доказательства). Необходимость условия абсолютной сходимости (не уверен).
  9. Теорема Абеля о произведении рядов (с леммой).
  10. Бесконечные произведения. Определение. Примеры. Свойства.
  11. Произведение и ряд .
  12. ! Поточечная и равномерная сходимость последовательности функций. Определение (есть моя линковочная заметка) и примеры. Критерий равномерной сходимости. Следствия.
  13. Критерий Коши для равномерной сходимости последовательностей.
  14. Пространство и его полнота.
  15. ! Равномерный предел непрерывных функций. теорема Стокса-Зайделя. Пространство и его полнота.
  16. ! Поточечная и равномерная сходимость рядов. Критерий Коши. Остаток ряда. Необходимое условие равномерной сходимости ряда.
  17. ! Признак сравнения. Признак Вейерштрасса. Следствия (не факт, что всё). Примеры (есть такое).
  18. Произведение равномерно ограниченной и равномерно сходящейся последовательностей (см. Равномерно ограниченная функ последовательность). Признаки Дирихле и Лейбница.
  19. Признак Абеля. Пример ряда, который сходится равномерно и абсолютно, но не равномерно абсолютно.
  20. Признак Дини.
  21. Теоремы о перестановке пределов и перестановке предела и суммы.
  22. Теорема об интегрировании равномерно сходящейся последовательности (ряда). Существенность равномерности.
  23. Теорема о дифференцировании равномерно сходящейся последовательности (ряда). Существенность равномерности.
  24. ! Степенные ряды. Теорема о сходимости ряда при меньших аргументах. Радиус и круг сходимости. Формула Коши-Адамара. Примеры.
  25. Равномерная сходимость степенного ряда (есть th). Непрерывность суммы степенного ряда. Теорема Абеля.
  26. Почленное интегрирование суммы степенного ряда (с леммой (не очень понял, вроде лемма не здесь нужна)).
  27. Комплексная дифференцируемость. Дифференцирование степенного ряда.
  28. Формула для коэффициентов разложения в ряд аналитической функции (см. Аналитичность функции). Несовпадение классов бесконечно дифференцируемых и аналитических функций.
  29. ! Определение , и . Ряд Тейлора для .
  30. Ряды Тейлора для , (нет) и .

Глава VIII Функции нескольких переменных

  1. ! Дифференцируемость отображений из в (см. Дифференциал ФМП). Частные случаи (? Градиент функции). Матрица Якоби. Градиент. Примеры дифференцируемых отображений. Дифференцируемость координатных функций.
  2. ! Производная по направлению. Экстремальное свойство градиента. Частные производные. Элементы матрицы Якоби (возможно, Критерий дифференцируемости ФМП через координатные функции > Следствие).
  3. ! Линейность дифференциала. Дифференциал композиции.
  4. ! Две теоремы о дифференцируемости произведения функций (Производная произведения ФМП и Производная скалярного произведения в ФМП).
  5. ! Связь частных производных и дифференцируемости. Пример.
  6. Непрерывная дифференцируемость. Определение и эквивалентная характеристика. Свойства непрерывно дифференцируемых отображений.
  7. ! Частные производные высших порядков. Теорема о перестановке частных производных в .
  8. Теорема о равенстве частных производных для непрерывно дифференцируемых функций. Пример, показывающий необходимость непрерывности производных.
  9. Мультииндексы (а также Полиномиальный (мультиномиальный) коэффициент, Высота мультииндекса, Производная через мультииндекс). Определения, обозначения, лемма о производной композиции гладкой и линейной функций.
  10. ! Многомерные формулы Тейлора с остатками в форме Лагранжа и Пеано.
  11. Теорема Банаха о сжатии (само Сжатие пространства). Следствие.
  12. Оценки на нормы обратного отображения и разности значений отображения. Теорема об обратимости отображений близких к обратимым.
  13. Теорема об обратной функции (существование и непрерывность обратного отображения).
  14. Дифференцируемость и непрерывная дифференцируемость обратного отображения. Образ области при невырожденном отображении.
  15. Теорема о неявной функции.
  16. Задача Коши для дифференциального уравнения. Теорема Пикара.
  17. ! Локальные экстремумы. Определение и необходимое условие экстремума. Стационарные точки.
  18. ! Квадратичная форма. Положительная и отрицательная определенность. Оценка снизу положительно определенной квадратичной формы. Достаточные условия экстремума.
  19. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
  20. Наибольшее и наименьшее значения квадратичной формы на сфере. Формула для нормы матриц.
Table Of Contents
Матан экз04
Глава VII. Ряды
Глава VIII Функции нескольких переменных